de Historia del aprendizaje automático (ML) se introdujo a mediados del siglo XX, pero entonces era sólo un concepto teórico. El concepto se ha convertido en un punto de inflexión hoy en día. Con la ayuda del ML, permite que las máquinas aprendan como los humanos y así utilicen datos y algoritmos para mejorar su precisión. él dijo Una tendencia creciente Entre las empresas indias que incorporan ML en sus operaciones. Es esencial estar familiarizado con el álgebra lineal, un concepto matemático fundamental que es crucial en ML. Hay varios. Aplicaciones del álgebra lineal en el aprendizaje automático Porque el algoritmo ML se basa en el concepto, especialmente para el cálculo numérico. Entonces, echemos un vistazo a los conceptos básicos del álgebra lineal que todo entusiasta del ML debería conocer para mejorar su comprensión de los modelos de ML.
En este blog, discutimos:
Conceptos básicos de álgebra lineal.
Operaciones matriciales
Valores propios y vectores propios
Descomposición de valores singulares (SVD)
Álgebra lineal con aprendizaje automático
A. Escalares, vectores y matrices.
1. Definición y Representación de Escalares, Vectores y Matrices
en Álgebra lineal para ciencia de datos y aprendizaje automático en PythonEntre otras cosas, utilizamos escalares, vectores y matrices como entidades matemáticas básicas para representar datos. Echemos un vistazo a ellos:
1. Escalares
Un escalar es una cantidad numérica única representada por un número real o complejo. Aunque tiene tamaño, no tiene dirección. Por ejemplo, velocidad, temperatura y volumen. Los subíndices como a, byc generalmente indican escalar.
2. Vectores
Un vector, a diferencia de un escalar, tiene magnitud y dirección. Por lo general, representa cantidades como aceleración, velocidad y par. Un vector utiliza letras minúsculas y negritas en su representación. Un vector tridimensional como No = [v₁, v₂, v₃] donde v₁, v₂, v₃ son los componentes del vector.
3. Matriz
Una matriz es una matriz rectangular de números, símbolos o expresiones. Representa y manipula datos en múltiples dimensiones. Usamos corchetes para matrices. Por ejemplo, una matriz de 2×3 aparece como M = 211122122313
b. Áreas vectoriales
1. Introducción a los espacios vectoriales y sus propiedades.
Comprender los espacios vectoriales y sus propiedades es esencial para aprender álgebra lineal. Un espacio vectorial, L, en un campo, F, es un conjunto de elementos que realizan dos operaciones: suma de vectores y multiplicación escalar. Aquí hay algunas propiedades de los espacios vectoriales.
Flexibilidad: Se trata de una operación en la que el orden de los vectores no afecta el resultado. por ejemplo, A + b = b + A Para todos los vectores A Y b Por l.
Distribución: Afirma que la multiplicación escalar se divide en suma vectorial y suma escalar. norte(A + b) = na + nb; (n+o)b = norteb +ob
Cierre: Si A es un vector en L y n es un escalar en F, entonces Ay n en L.
Escala: Se refiere al número de vectores en un espacio vectorial.
2. Explicación de la independencia lineal y los vectores de base.
Independencia lineal: los vectores son linealmente independientes si ningún vector de un conjunto puede escribirse como una combinación lineal de otros. Por tanto, es importante crear una base para el espacio vectorial.
Vector base: un vector base es un conjunto de vectores linealmente independientes que abarcan todo el espacio vectorial. En otras palabras, cualquier vector en L puede definirse como una combinación lineal de vectores base.
En resumen, la independencia lineal y los vectores base son fundamentales para comprender el álgebra lineal, especialmente en espacios vectoriales.
A. Suma y resta de matrices
1. Definición de suma y resta de matrices.
Antes de abordarlo, es importante comprender la suma y resta de matrices. Aplicaciones del álgebra lineal en el aprendizaje automático. Además, tomamos los elementos del mismo índice de cada matriz y los sumamos uno por uno. Si desea agregar una matriz, querrá que tengan el mismo tamaño. Por ejemplo, sumamos 8 a 2 y 4 a 5 en lo siguiente:
6894 + 3275 = 0910dieciséis09
El proceso es similar en reducción. Por tanto, restamos los elementos de la primera matriz de la segunda matriz.
B. Multiplicación de matrices
1. Explicación de la multiplicación de matrices.
El proceso toma un par de matrices y crea otra matriz. Combinamos las partes de la matriz de cierta manera. Las dimensiones de la matriz resultante están determinadas por el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda matriz. Por lo tanto, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz para multiplicar dos matrices.
6894 X 3275 = 452410560
2. Casos de uso y aplicaciones en aprendizaje automático
de Aplicación del álgebra lineal en el aprendizaje automático La suma, la resta y la multiplicación están incompletas sin matrices. A continuación se muestran algunos ejemplos. Álgebra lineal utilizada en el aprendizaje automático:
Normalización de datos: para normalizar los datos, utilizamos la suma matricial para restar la media de cada punto de datos.
Cálculo de errores: El uso de la regresión nos permite calcular el error entre los valores predichos y reales, especialmente en modelos de entrenamiento.
El uso de la multiplicación de matrices en el filtrado colaborativo permite la predicción de valores faltantes en sistemas de recomendación multiplicando matrices de interacción usuario-elemento.
C. Transpuesta e inversa
Definición y propiedades de transpuesta e inversa de matriz.
Encontramos la transpuesta de una matriz intercambiando sus filas con sus columnas, mientras que una matriz cuadrada puede tener su inversa. Para denotar lo inverso, elevamos una matriz a la potencia -1. Además, la matriz duplica su inversa, la matriz identidad (I). Aquí hay algunas propiedades:
Una matriz, A, tiene una inversa (A-1) si y solo si el determinante de la matriz no es igual a cero.
Si A es una matriz invertible, entonces A-1 ×A = A × A-1= yo.
La transpuesta de una matriz es lo mismo que la transpuesta de una matriz.
2. Aplicaciones e importancia en el aprendizaje automático
Muchos conceptos como transpuesta de matriz e inversa son útiles. Aplicaciones del álgebra lineal en el aprendizaje automático. Éstos son algunos de ellos:
Regresión lineal: utilizamos frecuentemente transformaciones matriciales al resolver ecuaciones normales para encontrar parámetros óptimos que minimicen el error de mínimos cuadrados.
Optimización: muchas técnicas de aprendizaje automático, como el descenso de gradiente, utilizan operaciones matriciales para resolver problemas de optimización encontrando la función de costo mínimo o máximo.
Análisis de gráficos y redes: muchas aplicaciones de aprendizaje automático muestran gráficos y redes. Es común que los desarrolladores utilicen operaciones matriciales para analizar las propiedades y la dinámica de los gráficos.
3. Implementación en Python
NumPy facilita el uso de operaciones matriciales y álgebra lineal en Python. El lenguaje de programación utiliza todos los conceptos del álgebra lineal, desde la transpuesta hasta la inversa, entre otros. Veamos un ejemplo proporcionado por Google Bard:
Transmisión:
viceversa
A. Definición y características
1. Introducción a los valores propios y vectores propios
Estos conceptos básicos hacen una contribución significativa Aplicaciones del álgebra lineal en el aprendizaje automático. En una transformación lineal, el valor propio se correlaciona activamente con el valor escalar, mientras que los vectores propios reducen activamente las dimensiones de los datos. En otras palabras, multiplicar un vector propio por su correspondiente vector propio produce una versión escalada del vector propio original.
Un valor propio puede ser un número real o complejo. El determinante de una matriz cuadrada es igual al producto de sus valores propios. Sin embargo, los vectores propios no son únicos; Cualquier múltiplo escalar de un vector propio también es un vector propio. Los vectores propios correspondientes a distintos vectores propios son linealmente independientes.
2. Comprender la interpretación geométrica.
También es importante comprender la interpretación geométrica de valores propios y vectores propios. Aplicaciones del álgebra lineal en el aprendizaje automático. Es una forma de mostrar su significado, así que echemos un vistazo:
Considere la transformación lineal representada por la matriz A. Los vectores propios representan las direcciones de estiramiento o contracción, en las que la transformación no crea ninguna rotación.
El valor propio λ nos dice cuánto se estira o comprime el vector asociado con el vector propio v mediante la transformación. Los valores propios representan la «magnitud» del cambio en las direcciones de los vectores propios. Nos dicen cuánto se estira o se contrae un vector en esas direcciones.
b. Cálculo y casos de uso.
1. Métodos para calcular Valores propios y Vectores propios
en Álgebra lineal para ciencia de datos y aprendizaje automático en Python, existen varios métodos para calcular valores propios y vectores propios. Éstos son algunos de ellos:
Iteración de potencia: este método de iteración comienza con un vector de aproximación inicial y aplica repetidamente la matriz al vector. En resumen, solo encuentra el valor propio dominante y el vector propio correspondiente.
Algoritmo QR: el método se basa en la descomposición QR y es popular para matrices grandes. Generalmente se utiliza para encontrar valores de matrices y vectores propios simultáneamente.
Bibliotecas numéricas: también podemos usar bibliotecas numéricas en Python como NumPy y SciPy. Esto se debe a que proporcionan funciones integradas para calcular valores propios y vectores propios. Suelen basarse en el algoritmo QR u otros métodos eficaces.
2. La importancia de la reducción de dimensionalidad y el análisis de componentes principales (PCA).
Los valores propios y los vectores propios juegan un papel importante en las técnicas de reducción de dimensionalidad, como el análisis de componentes principales (PCA). También son útiles en Aplicación del álgebra lineal en el aprendizaje automático.
Identificar direcciones importantes: en PCA, los vectores propios reducen la dimensionalidad de los datos al identificar las direcciones de variación más importantes.
Computacionalmente eficiente: a menudo son computacionalmente eficientes en comparación con otras técnicas de reducción de dimensionalidad, lo que las convierte en herramientas útiles para manejar grandes conjuntos de datos.
Visualización e interpretación: los vectores propios permiten la visualización de datos a un nivel bajo, lo que nos ayuda a obtener información sobre las relaciones entre los puntos de datos e identificar patrones de agrupación.
3. Aplicación Python
Ya hemos discutido cómo elegir usar una biblioteca como NumPy porque es el método Python más eficiente. Veamos cómo calcular valores propios y vectores propios.
NumPy
algoritmo QR
Ver también: La forma de Nitish Bhatti de resolver entrevistas sobre ciencia de datos
Descripción general de la enfermedad vesicular porcina (SVD)
1. Significado y significado en álgebra lineal.
SVD, o descomposición en valores singulares, divide una matriz en tres matrices. Son los siguientes.
Una matriz ortogonal izquierda, cuyas columnas son los vectores singulares izquierdos.
Matriz diagonal, las entradas diagonales son valores únicos, ordenados de mayor a menor
Una transpuesta de matriz ortogonal derecha, cuyas columnas son vectores reales singulares.
Es significativo en lugares Álgebra lineal utilizada en el aprendizaje automático Algoritmo. También es importante para reducir el tamaño, soluciones de mínimos cuadrados e imágenes, entre otras cosas.
2. Aplicación en aprendizaje automático y compresión de datos.
SVD es útil en el filtrado colaborativo porque permite que el algoritmo ML sugiera objetos a los usuarios. Lo hace en función de su comportamiento pasado y el comportamiento de usuarios similares. De hecho, SVD ayuda a identificar factores latentes que representan las preferencias del usuario y los atributos de los elementos.
SVD también se utiliza en la compresión de imágenes, texto y señales. Comprime imágenes descartando valores singulares y vectores menos significativos. Además, comprime texto y símbolos eliminando múltiples palabras, frases, ruido y elementos no deseados.
B. Implementación de SVD en Python
1. Explicación paso a paso de la implementación de SVD utilizando bibliotecas de Python
Importar bibliotecas como NumPy y SciPy
Especifique la matriz que desea descomponer
Realice SVD que devuelve tres funciones como se explicó anteriormente
Accede a las unidades SVD
Vectores singulares izquierdos
Valores únicos
Vectores singulares derechos
Reconstrucción matricial
Reducción de tamaño (opcional)
Existe una opción para reducir la escala truncando valores únicos y manteniendo solo los más grandes.
Aplicaciones SVD
Ahora puede utilizar SVD para fines como compresión de imágenes, extracción de funciones y filtrado colaborativo.
A. Regresión y optimización
1. Cómo se utiliza el álgebra lineal en modelos de regresión
Existen varios casos de uso del álgebra lineal en modelos de regresión. Se utiliza para representar datos y relaciones con la ayuda de matrices y transformaciones lineales. El álgebra lineal también proporciona un marco matemático para resolver problemas de optimización. Sus técnicas también se utilizan para resolver coeficientes de regresión. Finalmente, el álgebra lineal proporciona la base para varias pruebas estadísticas para evaluar la importancia de los modelos de regresión y sus parámetros. Básicamente, el uso del álgebra lineal aporta eficiencia, precisión y uniformidad a los modelos de regresión.
2. Técnicas de optimización mediante álgebra lineal.
El beneficio de la optimización es importante. Aplicaciones del álgebra lineal en el aprendizaje automático. Entonces, veamos algunas técnicas que se pueden utilizar para optimizar:
Método simplex: el método se extiende a la programación lineal y utiliza operaciones de álgebra lineal como la inversión de matrices y la eliminación gaussiana. Ayudan a identificar buenas soluciones y avanzar hacia ellas.
Descenso de gradiente: es un algoritmo iterativo que minimiza la función objetivo bajando el gradiente. El álgebra lineal proporciona un marco para calcular gradientes que guían el descenso.
Multiplicadores de Lagrange: este enfoque incorpora multiplicadores de Lagrange en las restricciones de la ecuación de la función objetivo. Además, el álgebra lineal ajusta el sistema de ecuaciones resultante y busca la solución óptima.
B. Redes neuronales
1. El papel del álgebra lineal en la estructura y entrenamiento de redes neuronales.
El álgebra lineal es fundamental en las redes neuronales, que son fundamentales para el aprendizaje automático. Dibuje una arquitectura de red que consta de transformaciones matriciales, vectoriales y lineales. Además, su entrenamiento se basa en técnicas como funciones de pérdida, descenso de gradiente y retropropagación. La estructura de las redes a menudo se basa en funciones de activación como la activación lineal y la función softmax. También utilizan técnicas como desaceleración, impulso, etc.
2. Propagación hacia atrás y cálculo matricial
La retropropagación es un algoritmo de optimización que entrena redes neuronales minimizando una función de pérdida determinada. Implica calcular los parámetros de la red de gradiente con pérdida y actualizar estos parámetros para minimizar la pérdida total.
El cálculo matricial es un marco matemático que amplía el cálculo tradicional para abordar matrices y vectores. El cálculo matricial simplifica enormemente la expresión de gradientes y derivadas en el contexto de redes neuronales.
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